Unity 中的 Transform.InverseTransformPoint 方法

如果我记得 Linear Algebra 的知识是正确的，那么这个方法应该是将点从一个坐标系转换到另一个坐标系中。无论是否正确，我想了解背后的数学原理。

这个方法的数学原理是基于矩阵运算。Transform 对象可以看作是一个 4x4 的矩阵，其中前 3 个行列式代表了旋转、缩放和平移的参数，而最后一个行列式代表了平移的偏移量。

当我们调用 InverseTransformPoint 方法时，我们实际上是在求这个矩阵的逆矩阵。矩阵的逆矩阵可以将一个坐标系中的点转换到另一个坐标系中。

具体来说，假设我们有一个点 P = (x, y, z)，我们想将其转换到另一个坐标系中。我们可以使用以下公式：

P' = M^-1 * P

其中 M 是 Transform 对象的矩阵，M^-1 是它的逆矩阵，P' 是转换后的点坐标。

在 Unity 中，M^-1 可以通过以下公式计算：

M^-1 = M.T * (det(M) / (det(M)^2 - (M[3,3] * det(M[0:3,0:3])))^0.5)

其中 M.T 是 M 的转置矩阵，det(M) 是 M 的行列式，M[3,3] 是 M 的第三行第三列元素，M[0:3,0:3] 是 M 的前 3 行 3 列元素的子矩阵。

最后，P' 可以通过以下公式计算：

P' = M^-1 * P = (M^-1[0,0] * x + M^-1[0,1] * y + M^-1[0,2] * z + M^-1[0,3],
M^-1[1,0] * x + M^-1[1,1] * y + M^-1[1,2] * z + M^-1[1,3],
M^-1[2,0] * x + M^-1[2,1] * y + M^-1[2,2] * z + M^-1[2,3])

其中 M^-1[0:3,0:3] 是 M^-1 的前 3 行 3 列元素。

这就是 Transform.InverseTransformPoint 方法背后的数学原理。